Ta có:
- Gọi I là giao điểm của AB và O1O2.
- Gọi J là giao điểm của AB và O1O3.
- Gọi K là giao điểm của AC và O1O2.
- Gọi L là giao điểm của AC và O1O3.

Do (O1) tiếp xúc với (O2) tại C nên O1C là tiếp tuyến của (O2) tại C. Tương tự, O1B là tiếp tuyến của (O3) tại B.

Áp dụng định lí Pappus cho hai đường thẳng AB và O1O2O3, ta có: I, C, K thẳng hàng và J, B, L thẳng hàng.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng MN, ta có:
$\frac{AM}{MB}.\frac{BK}{KC}.\frac{CN}{NA} = 1$

Mà ta có:
$\frac{AM}{MB} = \frac{AJ}{JB} = \frac{AL}{LC}$ (do J, B, L thẳng hàng)
$\frac{BK}{KC} = \frac{BI}{IC} = \frac{BJ}{JA}$ (do I, C, K thẳng hàng)
$\frac{CN}{NA} = \frac{CL}{LA} = \frac{CK}{KB}$ (do J, B, L thẳng hàng)

Vậy ta có: $\frac{AM}{MB}.\frac{BK}{KC}.\frac{CN}{NA} = \frac{AL}{LC}.\frac{BJ}{JA}.\frac{CK}{KB} = 1$

Do đó, theo định lí Menelaus, ta có MN // O2O3.