a) Ta có tam giác vuông ABC, với AB = 8cm và AC = 6cm. Áp dụng định lý Pythagoras, ta có:

BC^2 = AB^2 + AC^2
BC^2 = 8^2 + 6^2
BC^2 = 64 + 36
BC^2 = 100
BC = 10cm

Vì M là trung điểm của cạnh BC, nên AM = MC = BC/2 = 10/2 = 5cm.

b) Để chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật, ta cần chứng minh AB // DC và AD // BC.

Vì M là trung điểm của cạnh BC, nên AM cắt BC thành hai đoạn bằng nhau, tức là BM = MC. Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ. Do đó, góc BAM = góc CAM = 45 độ. Vì BM = MC, nên tam giác BAM và tam giác CAM là tam giác cân. Do đó, góc ABM = góc ACM = 45 độ.

Vì góc ABM = góc ACM = 45 độ, nên tứ giác ABDC là hình chữ nhật.

c) Để chứng minh AN // BC, ta cần chứng minh AN cắt BC thành hai đoạn bằng nhau và góc NAB = góc ABC.

Vì D là điểm đối xứng của A qua M, nên AD = AM = 5cm. Vì N là điểm đối xứng của D qua đường thẳng BC, nên DN = DC. Vì tứ giác ABDC là hình chữ nhật, nên góc ABC = 90 độ. Do đó, góc NAB = góc ABC = 90 độ.

Vì DN = DC và góc NAB = góc ABC = 90 độ, nên AN // BC.

d) Tứ giác ACBN là hình bình hành. Vì AC = BN và AB // CN (do tứ giác ABDC là hình chữ nhật), nên tứ giác ACBN là hình bình hành.