a) Ta có:
- Tam giác ABC là tam giác có đường cao BD và CE.
- Vì AE là đường cao của tam giác ABC, nên tam giác ADE và tam giác ABC đồng dạng.
- Theo định lý đồng dạng, ta có: AE/AB = AD/AC.
- Nhân cả hai vế của phương trình trên với AB và AC, ta được: AE.AB = AD.AC.

b) Vì tam giác ADE và tam giác ABC đồng dạng, nên tỉ số đồng dạng giữa các cạnh của hai tam giác là như nhau. Do đó, tam giác ADE đồng dạng tam giác ABC.

c) Góc A = 45 độ, nên góc BAD = góc CAD = 45 độ.
- Tam giác ABD và tam giác ACD là tam giác vuông cân, nên các cạnh của chúng bằng nhau.
- Ta có: AB = AC, AD = AD.
- Vì tam giác ADE và tam giác ABC đồng dạng, nên tỉ số đồng dạng giữa các cạnh của hai tam giác là như nhau.
- Do đó, AE/AB = AD/AC = 1.
- Từ đó, ta suy ra AE = AB và AD = AC.
- Vậy diện tích tam giác ADE bằng diện tích tam giác ABC.

d) Ta có:
- M là giao điểm của DE và AH, nên ta có tỉ số đồng dạng giữa các cạnh của tam giác ADE và tam giác ADH: MD/HD = ME/HE.
- N là giao điểm của DE và BC, nên ta có tỉ số đồng dạng giữa các cạnh của tam giác ADE và tam giác BDE: ND/BD = NE/BE.
- Ta có: HD = BD - BH và HE = CE - EH.
- Từ đó, ta suy ra: MD/BD = ME/CE.
- Nhân cả hai vế của phương trình trên với BD và CE, ta được: MD . NE = ME . ND.
- Vậy MD . NE = ME . ND.