Để chứng minh biểu thức \(x^2 + x + 1 > 0\) với mọi giá trị của \(x\), ta sử dụng phương pháp hoàn thiện khối vuông.

Đầu tiên, ta xem xét trường hợp \(x = 0\). Khi đó, biểu thức trở thành \(0^2 + 0 + 1 = 1\), vẫn lớn hơn 0.

Tiếp theo, ta xem xét trường hợp \(x > 0\). Khi đó, ta có:
\(x^2 > 0\) vì bình phương của một số dương luôn lớn hơn 0.
\(x > 0\) vì giả sử \(x < 0\), thì \(x^2 < 0\) (vì bình phương của một số âm luôn nhỏ hơn 0), điều này mâu thuẫn với \(x^2 > 0\).

Do đó, ta có \(x^2 + x + 1 > 0\) với mọi giá trị \(x > 0\).

Cuối cùng, ta xem xét trường hợp \(x < 0\). Khi đó, ta có:
\(x^2 > 0\) vì bình phương của một số âm luôn lớn hơn 0.
\(x < 0\) vì giả sử \(x > 0\), thì \(x^2 < 0\) (vì bình phương của một số dương luôn nhỏ hơn 0), điều này mâu thuẫn với \(x^2 > 0\).

Do đó, ta có \(x^2 + x + 1 > 0\) với mọi giá trị \(x < 0\).

Từ đó, ta có thể kết luận rằng \(x^2 + x + 1 > 0\) với mọi giá trị của \(x\).