Chứng minh rằng AB + BD = AC +CD

a) Ta có:
- Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
- Gọi E là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với đường thẳng AD.
- Gọi F là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với đường thẳng AI.
- Gọi G là giao điểm của đường thẳng BC và đường thẳng EF.
- Gọi H là giao điểm của đường thẳng AD và đường thẳng BC.

Theo định lý Ptolemy, ta có:
AB * CD + AC * BD = AD * BC
Vì tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp, nên AD là đường cao của tam giác ABC.
Do đó, AD * BC = 2R * BC = 2R * DG (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
Vậy ta có: AB * CD + AC * BD = 2R * DG
Mà DG = BG - BD = CG - CD
Vậy ta có: AB * CD + AC * BD = 2R * (BG - BD) = 2R * BG - 2R * BD
Mà BG = BH + HG = BH + CH - CD
Vậy ta có: AB * CD + AC * BD = 2R * (BH + CH - CD) - 2R * BD
= 2R * BH + 2R * CH - 2R * CD - 2R * BD
= 2R * BH + 2R * CH - 2R * (CD + BD)
= 2R * BH + 2R * CH - 2R * AC
= 2R * (BH + CH - AC)
= 2R * AH
= 2R * AI
= 2R * AF
= 2R * AB
= AB * 2R
= AB * CD + AC * BD
Vậy ta có: AB + BD = AC + CD.

b) Ta có:
- Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB.
- Gọi P là giao điểm của đường thẳng AD và đường thẳng OC.

Ta có:
∠OAP = ∠OAD + ∠DAP = ∠OCD + ∠DAP = ∠OCP
Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB và tam giác ADC tiếp xúc nhau tại điểm P.