Cho đường tròn tâm O đường kính AB

a) Ta có CAB = 30° và 4C 5C. Vì CAB = 30° nên AOB = 60°. Vì OB là đường kính nên OAB = 90°. Từ đó suy ra AOH = 30°.

Gọi R là bán kính đường tròn (O), ta có:
sin(AOH) = HO/RO
sin(30°) = HO/R
1/2 = HO/R
HO = R/2

Vì HB > HO nên HB > R/2.

Gọi M là trung điểm của OB, ta có:
HM = OB/2 = R/2

Vì CD vuông góc với AB nên CM vuông góc với AB. Mà HM vuông góc với AB nên CM song song với HM. Từ đó suy ra CM song song với OB.

Do đó, tam giác MCH cân tại M.

Vì CM = HM nên tam giác MCH đều.

Từ đó suy ra CH = CM = HM = R/2.

Vậy độ dài bán kính đường tròn (O) là R và độ dài dây CD là CH = R/2.

b) Gọi I là điểm nằm trong tam giác ACH sao cho BI = BC.

Ta có AI = AC = CH = R/2.

Vì AI = CH nên tam giác AIH cân tại I.

Từ đó suy ra IH = AH.

Vì tam giác AHB cân tại H nên BH = BA.

Vậy BI = BH.BA và BIH = BAI.

c) Gọi K là giao điểm của AI và CH.

Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với AK, đường thẳng này cắt đường thẳng CD tại P.

Vì BK song song với IH nên tam giác BKP cân tại K.

Từ đó suy ra KB = KP.

Vì tam giác BKP cân tại K nên KBP = 90°.

Vì tam giác BKP cân tại K nên KB^2 = KP.KB = KH.KP.

Vậy KB^2 = KI.KA = KH.KP và KBP = 90°.

2) Ta có AI = AC = CH = R/2.

Vì AI = CH nên tam giác AIH cân tại I.

Từ đó suy ra IH = AH.

Vì tam giác AHB cân tại H nên BH = BA.

Vậy OI = OH.