Để giải bài toán, chúng ta sẽ gọi hai số cần tìm là \( x \) và \( y \).

Theo đề bài, chúng ta có hai điều kiện:

1. Hiệu của hai số:
\[
x - y = 129 \quad (1)
\]

2. Tổng của hai số cộng với tổng của chúng:
\[
x + y + (x + y) = 2010 \quad (2)
\]
Chúng ta có thể rút gọn phương trình (2):
\[
2(x + y) = 2010
\]
Từ đó suy ra:
\[
x + y = \frac{2010}{2} = 1005 \quad (3)
\]

Bây giờ chúng ta có hệ phương trình gồm (1) và (3):
\[
\begin{cases}
x - y = 129 \\
x + y = 1005
\end{cases}
\]

Chúng ta có thể giải hệ phương trình này bằng cách cộng hai phương trình lại với nhau:
\[
(x - y) + (x + y) = 129 + 1005
\]
\[
2x = 1134
\]
\[
x = \frac{1134}{2} = 567
\]

Sau khi tìm được \( x \), chúng ta có thể thay vào phương trình (3) để tìm \( y \):
\[
567 + y = 1005
\]
\[
y = 1005 - 567 = 438
\]

Vậy hai số cần tìm là:
\[
x = 567 \quad \text{và} \quad y = 438
\]

Chúng ta có thể kiểm tra lại:
\[
x - y = 567 - 438 = 129 \quad \text{(đúng)}
\]
\[
x + y = 567 + 438 = 1005
\]
\[
x + y + (x + y) = 1005 + 1005 = 2010 \quad \text{(đúng)}
\]

Vậy hai số cần tìm là \( \boxed{567} \) và \( \boxed{438} \).