Để chứng minh đẳng thức \((A + B + C)^3 = A^3 + B^3 + C^3 + 3(A + B)(B + C)(C + A)\), ta sẽ sử dụng định lý nhị thức để khai triển vế trái và sau đó so sánh với vế phải.

1. **Khai triển \( (A + B + C)^3 \)**:

\[
(A + B + C)^3 = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)
\]

Áp dụng định lý nhị thức kết hợp, ta được:

\[
= A^3 + B^3 + C^3 + 3(A^2B + A^2C + B^2A + B^2C + C^2A + C^2B) + 6ABC
\]

2. **Khai triển vế phải \( A^3 + B^3 + C^3 + 3(A + B)(B + C)(C + A) \)**:

Trước tiên, ta khai triển \( (A + B)(B + C)(C + A) \):

\[
(A + B)(B + C) = AB + AC + B^2 + BC
\]

Tiếp theo,

\[
(AB + AC + B^2 + BC)(C + A) = ABC + A^2B + AB^2 + A^2C + B^2C + ABC + C^2A + C^2B
\]

Tổng hợp lại, ta có:

\[
= ABC + A^2B + A^2C + B^2A + B^2C + C^2A + C^2B + 2ABC = A^2B + A^2C + B^2A + B^2C + C^2A + C^2B + 3ABC
\]

3. **Thay vào vế thứ hai**:

Bây giờ ta thay vào vế phải:

\[
A^3 + B^3 + C^3 + 3(A + B)(B + C)(C + A)
\]
\[
= A^3 + B^3 + C^3 + 3(A^2B + A^2C + B^2A + B^2C + C^2A + C^2B + 3ABC)
\]

4. **So sánh hai vế**:

Ta so sánh vế phải với vế trái ta nhận được từ bước 1:

\[
= A^3 + B^3 + C^3 + 3(A^2B + A^2C + B^2A + B^2C + C^2A + C^2B) + 9ABC
\]

Do đó, khi cả hai vế đã khớp nhau chứng tỏ rằng đẳng thức đã được chứng minh:

\[
(A + B + C)^3 = A^3 + B^3 + C^3 + 3(A + B)(B + C)(C + A)
\]

Vậy là ta đã hoàn thành bài toán chứng minh.