a) Ta có:
- Gọi O là giao điểm của NP và AH.
- Ta cần chứng minh NP là đường trung trực của AH, tức là NP vuông góc với AH và đi qua trung điểm của AH.
- Ta sẽ chứng minh NP vuông góc với AH và đi qua trung điểm của AH.
- Ta có AM = MB, AN = NC (do M, N lần lượt là trung điểm của BC, CA).
- Ta có góc AMB = góc ANC = 90 độ (do AH là đường cao của tam giác ABC).
- Vậy ta có hai tam giác AMB và ANC là tam giác vuông cân.
- Do đó, ta có MA = MB và NA = NC.
- Vậy ta có MA = MB = NA = NC.
- Vậy ta có tứ giác MNPB là hình bình hành.
- Vậy ta có NP // MB.
- Ta có góc NPA = góc MBA = 90 độ (do NP // MB và góc AMB = 90 độ).
- Vậy ta có NP vuông góc với AH.
- Ta có góc NPA = góc MBA = 90 độ (do NP // MB và góc AMB = 90 độ).
- Vậy ta có NP vuông góc với AH.
- Vậy ta có NP là đường trung trực của AH.

b) Ta có:
- Gọi O là giao điểm của NP và AH.
- Ta cần chứng minh tứ giác MNPH là hình thang cân, tức là MN = PH và MP // NH.
- Ta đã chứng minh NP là đường trung trực của AH.
- Vậy ta có AO = OH (do NP là đường trung trực của AH).
- Ta có AM = MB, AN = NC (do M, N lần lượt là trung điểm của BC, CA).
- Ta có góc AMB = góc ANC = 90 độ (do AH là đường cao của tam giác ABC).
- Vậy ta có hai tam giác AMB và ANC là tam giác vuông cân.
- Do đó, ta có MA = MB và NA = NC.
- Vậy ta có tứ giác MNPB là hình bình hành.
- Vậy ta có MN = PB.
- Ta có góc NPA = góc MBA = 90 độ (do NP // MB và góc AMB = 90 độ).
- Vậy ta có NP vuông góc với AH.
- Ta có góc NPA = góc MBA = 90 độ (do NP // MB và góc AMB = 90 độ).
- Vậy ta có NP vuông góc với AH.
- Vậy ta có tứ giác MNPH là hình thang cân.