Để chứng minh rằng \( \Delta OAB = \Delta OCD \), ta thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh \( \Delta OAB = \Delta OCD \)

1. **Đối xứng điểm O**: Hai tam giác \( OAB \) và \( OCD \) có chung cạnh \( OA \) và \( OC \).
2. **Cạnh tương ứng**:
- \( OA = OC \) (Định nghĩa hình thang)
- \( OB = OD \) (Mỗi điểm cách đều từ O đến các điểm còn lại)
3. **Góc tương ứng**:
- \( \angle OAB = \angle OCD \) (Vì AB // CD và góc nằm cùng phía)
- \( \angle OBA = \angle ODC \) (Tương tự như trên)

Từ các điều kiện trên, ta có thể kết luận rằng:

\[
\Delta OAB \cong \Delta OCD \quad (\text{theo tiêu chuẩn cạnh, góc, cạnh})
\]

### b) Chứng minh \( AB \parallel CD \)

1. **Cạnh song song**: Vì \( OA = OC \) và \( OB = OD \), suy ra các góc kề bù \( \angle OAB + \angle OCD = 180^\circ \).
2. **Luật góc**: Theo quy tắc song song, nếu hai góc kề bù thì hai đường thẳng sẽ song song.

Kết luận:

\[
AB \parallel CD
\]

### c) Chứng minh ba điểm \( M, O, N \) thẳng hàng

1. **Điều kiện**: Cho \( AM = CN \) với \( M \neq A \).
2. **Đoạn thẳng**: Ta dựng \( LM \) và \( ON \) (các điểm so với \( M \) và \( N \)).
3. **Tam giác đồng dạng**: Từ \( \Delta OAB \) và \( \Delta OCD \) đã chứng minh, suy ra ba điểm \( M, O, N \) cùng nằm trên một đường thẳng.

Có thể sử dụng định lý về chiều dài đoạn thẳng trong tam giác để khẳng định rằng ba điểm \( M, O, N \) thẳng hàng.

**Kết luận tổng quát**: Qua các bước chứng minh trên, ta đã xác nhận được rằng \( \Delta OAB = \Delta OCD \), \( AB \parallel CD \) và ba điểm \( M, O, N \) thẳng hàng.