Để giải quyết bài toán này, ta cần vẽ hình vuông ABCD và các đường thẳng MNAB, MPAD, PM, BC, AEQN, và giao điểm Q.

1) Chứng minh rằng các tứ giác ANMP và ABQP là các hình chữ nhật:
- Ta có MN || AB và MN = AB (vì MNAB là hình chữ nhật), nên góc MNA = góc BAN = 90°.
- Ta cũng có MP || AD và MP = AD (vì MPAD là hình chữ nhật), nên góc MPA = góc DAP = 90°.
- Vì góc MNA = góc MPA = 90°, nên tứ giác ANMP là hình chữ nhật.
- Tương tự, ta có góc BQA = góc BPA = 90°, nên tứ giác ABQP cũng là hình chữ nhật.

2) Tứ giác BQMN là hình gì?
- Ta đã chứng minh ở câu 1 rằng tứ giác ANMP là hình chữ nhật.
- Vì BQ || AN và BQ = AN (vì ABQP là hình chữ nhật), nên tứ giác BQMN cũng là hình chữ nhật.

3) Chứng minh góc BEP = 90°:
- Ta có AE || BC và AE = BC (vì AEQN là hình chữ nhật), nên góc AEB = góc BAC.
- Ta cũng có góc BAP = góc BAC (vì ABQP là hình chữ nhật).
- Vì góc AEB = góc BAP, nên góc BEP = 90°.

4) Để AM có độ dài nhỏ nhất, ta cần tìm vị trí điểm M trên đường chéo BD sao cho MB < MD.
- Vì AM là đường chéo của hình vuông ABCD, nên AM cũng là đường cao của tam giác ABD.
- Đường cao của tam giác ABD có độ dài nhỏ nhất khi đường cao đó vuông góc với cạnh đáy BD.
- Vậy, để AM có độ dài nhỏ nhất, ta cần chọn điểm M sao cho MB vuông góc với BD.