Để tính giá trị của biểu thức A = (1 + a/b)(1 + b/c)(1 + c/a), ta sẽ sử dụng công thức:

A = (1 + a/b)(1 + b/c)(1 + c/a)
= (abc + ac + bc + ab)/(abc)
= (abc + ac + bc + ab)/((abc)^2/abc)
= ((abc)^2 + ac^2 + bc^2 + ab^2)/(abc)
= (abc(abc) + ac^2 + bc^2 + ab^2)/(abc)

Chúng ta đã biết rằng ab^3 + bc^3 + ca^3 = 3(abc)^2, do đó:

ab^3 + bc^3 + ca^3 = 3(abc)^2
abc(ab + bc + ca) = 3(abc)^2
(ab + bc + ca) = 3abc

Vậy, ta có thể thay thế ab + bc + ca bằng 3abc trong biểu thức A:

A = (abc(abc) + ac^2 + bc^2 + ab^2)/(abc)
= (abc(abc) + ac^2 + bc^2 + ab^2)/(abc)
= (abc(abc) + ac^2 + bc^2 + ab^2)/(abc)
= (3abc^2 + 3b^2c + 3ac^2 + 3a^2b)/(abc)
= 3(a^2b + b^2c + c^2a)/(abc)

Sau đó, chúng ta có thể rút gọn biểu thức này:

A = 3(a^2b + b^2c + c^2a)/(abc)
= 3(ab(a) + bc(b) + ca(c))/(abc)
= 3(ab + bc + ca)

Như đã chứng minh ở trên, ab + bc + ca = 3abc, vậy:

A = 3(ab + bc + ca)
= 3(3abc)
= 9abc

Vậy, giá trị của biểu thức A = (1 + a/b)(1 + b/c)(1 + c/a) là 9abc.