Cho hình bình hành ABCD, trên đường chéo AC lấy 2 điểm E và F sao cho AE = EF = FC

Để chứng minh BMDN là hình bình hành, ta cần chứng minh BM = DN và BM || DN.

Ta có:
- Vì AE = EF = FC, nên tam giác AEF là tam giác đều.
- Vì tam giác AEF là tam giác đều, nên góc EAF = 60 độ.
- Vì góc EAF = 60 độ, nên góc EAB = 60 độ.
- Vì góc EAB = 60 độ, nên góc EAM = 180 - 60 = 120 độ.
- Vì góc EAM = 120 độ, nên góc EMA = 180 - 120 = 60 độ.
- Vì góc EMA = 60 độ, nên tam giác EMA là tam giác đều.
- Vì tam giác EMA là tam giác đều, nên EM = MA.

Do đó, ta có:
- BM = BE + EM = BE + MA = BA.
- DN = DC + CN = DC + CF = DA.

Vậy BM = DN.

Ta có:
- Góc EAB = 60 độ.
- Góc EMA = 60 độ.
- Góc EAB = góc EMA.
- Vì góc EAB = góc EMA, nên tam giác EAB đồng dạng với tam giác EMA.
- Vì tam giác EAB đồng dạng với tam giác EMA, nên góc BAM = góc MEB.
- Vì góc BAM = góc MEB, nên BM || DN.

Vậy BM || DN.

Từ đó, ta có BMDN là hình bình hành.