Cho tam giác ABC vuông tại A trên tia đối AC lấy điểm N sao cho AN = AB, trên tia đối AB lấy M sao cho AM = AC

Để chứng minh B, C, M, N thuộc đường tròn, ta cần chứng minh tứ giác BMNC là tứ giác nội tiếp.

Ta có:
- AN = AB (điều kiện đề bài)
- AM = AC (điều kiện đề bài)
- Góc BAN = Góc BAC (cùng nằm trên cùng một cạnh AB)
- Góc CAM = Góc CAN (cùng nằm trên cùng một cạnh AC)

Từ các điều kiện trên, ta có:
- Tam giác ANB và tam giác AMC là tam giác cân tại N và M.
- Góc BAN = Góc CAM (cùng nằm trên cùng một cạnh AB và AC)

Do đó, ta có:
- Góc BNM = Góc BNA + Góc ANM = Góc BNA + Góc CAM = Góc BAC + Góc CAM = 180° - Góc ABC (tổng các góc trong tam giác ABC bằng 180°)
- Góc CNM = Góc CNA + Góc ANM = Góc CNA + Góc CAM = Góc CAN + Góc CAM = Góc BAC + Góc CAM = 180° - Góc ABC (tổng các góc trong tam giác ABC bằng 180°)

Vậy tứ giác BMNC là tứ giác nội tiếp, từ đó suy ra B, C, M, N thuộc đường tròn.