Để chứng minh góc BFC = 90 độ, ta cần chứng minh BF vuông góc với BC.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên EF. Ta cần chứng minh H trùng với F.

Vì BC là đường trung trực của EF, nên BF = FC. (1)

Vì I là trung điểm của BC, nên BI = IC. (2)

Vì đường cao BD, CE của tam giác ABC, nên BD vuông góc với AC và CE vuông góc với AB.

Vì vậy, góc BDC = góc CEB. (3)

Vì góc BDC = góc CEB và BD = CE (đường cao), nên tam giác BDC và CEB là tam giác đồng dạng.

Do đó, góc CBD = góc BCE. (4)

Từ (2) và (4), ta có góc BCI = góc CBI.

Vì vậy, tam giác BCI là tam giác cân tại I.

Vì BF = FC (theo (1)) và BI = IC (theo (2)), nên BF và BI là hai đoạn thẳng đồng dạng.

Vậy, góc BFI = góc BIF.

Từ (3), (4) và (5), ta có góc BFI = góc BIF = góc BCF.

Vậy, BF vuông góc với BC.

Do đó, góc BFC = 90 độ.