Để chứng minh tứ giác AKDG là hình chữ nhật, ta cần chứng minh hai đường chéo AK và DG cắt nhau vuông góc và có độ dài bằng nhau.

Ta có tam giác ABC cân tại A, nên AH là đường cao và đồng thời là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, H là trung điểm của BC.

Gọi I là giao điểm của đường thẳng MN và AH. Ta cần chứng minh I là trung điểm của AK.

Do đường thẳng MN vuông góc với BC, nên ta có hai góc vuông MNI và DNI. Vì tam giác ABC cân tại A, nên ta có góc A = góc B = góc C. Khi đó, ta có góc MNI = góc DNI.

Vì góc MNI = góc DNI và góc MIN = góc DIN (vuông góc), nên ta có tam giác MIN và DIN đồng dạng. Do đó, ta có tỉ số đồng dạng:

MI/MN = DI/DN

Vì H là trung điểm của BC, nên ta có tỉ số đồng dạng:

HI/BC = DI/DN

Vì H là trung điểm của BC, nên ta có HI = HK và BC = 2HK. Khi đó, ta có:

HK/2HK = DI/DN

1/2 = DI/DN

DI = 1/2 DN

Vậy, ta có DI = 1/2 DN. Từ đó, ta có AI = 1/2 AN.

Vì I là giao điểm của đường thẳng MN và AH, nên ta có AI = 1/2 AN. Khi đó, ta có AI = IK.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng I là trung điểm của AK.

Do đó, ta có AK = 2IK.

Vì AK = 2IK và AKDG là hình chữ nhật, nên ta có AK cắt DG vuông góc và AK = DG.

Vậy, ta đã chứng minh được tứ giác AKDG là hình chữ nhật.