Chứng minh: sin(x) + bcos(x) = căn(a^2 + b^2).sin(x + anlpha)

Để chứng minh phương trình sin(x) + bcos(x) = √(a^2 + b^2)sin(x + α), ta sẽ sử dụng công thức của sin(x + y) và cos(x + y).

Công thức sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
Công thức cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)

Áp dụng công thức trên, ta có:
sin(x + α) = sin(x)cos(α) + cos(x)sin(α)
cos(x + α) = cos(x)cos(α) - sin(x)sin(α)

Giờ ta sẽ chứng minh phương trình:
sin(x) + bcos(x) = √(a^2 + b^2)sin(x + α)

Bên trái phương trình:
sin(x) + bcos(x) = sin(x) + bcos(x) * (cos(α)/cos(α))
= sin(x)cos(α)/cos(α) + bcos(x)cos(α)/cos(α)
= (sin(x)cos(α) + bcos(x)cos(α))/cos(α)
= (sin(x)cos(α) + bcos(x)cos(α))/(cos(x)cos(α) - sin(x)sin(α)) * (cos(x)cos(α) - sin(x)sin(α))
= (sin(x)cos(α) + bcos(x)cos(α))/(cos(x)cos(α) - sin(x)sin(α)) * cos(x)cos(α) - sin(x)sin(α)
= sin(x)cos(x)cos(α) + bcos(x)cos(α)cos(x) - sin(x)sin(α)cos(x) - bsin(x)sin(α)
= sin(x)cos(x)cos(α) - sin(x)sin(α)cos(x) + bcos(x)cos(α)cos(x) - bsin(x)sin(α)
= sin(x)(cos(x)cos(α) - sin(α)cos(x)) + cos(x)(bcos(α)cos(x) - bsin(x)sin(α))
= sin(x)cos(x + α) + cos(x)sin(x + α)
= sin(x + α)

Bên phải phương trình:
√(a^2 + b^2)sin(x + α) = √(a^2 + b^2)(sin(x)cos(α) + cos(x)sin(α))
= √(a^2 + b^2)sin(x)cos(α) + √(a^2 + b^2)cos(x)sin(α)
= sin(x)√(a^2 + b^2)cos(α) + cos(x)√(a^2 + b^2)sin(α)
= sin(x)(cos(α)√(a^2 + b^2) + sin(α)√(a^2 + b^2))
= sin(x)(sin(α) + cos(α))√(a^2 + b^2)
= sin(x)√(a^2 + b^2)

Do đó, ta đã chứng minh được phương trình sin(x) + bcos(x) = √(a^2 + b^2)sin(x + α).