Cho tam giác ABC nội tiếp (O). M là điểm chính giữa cung BAC của (O). Một đường tròn bất kì qua A và M cắt AC, AB lần lượt tại E, F. Chứng minh rằng CE = BF

Để chứng minh CE = BF, ta sẽ sử dụng tính chất của góc nội tiếp.

Gọi G là giao điểm của đường tròn (O) và đường tròn (AMEF). Ta có:
- Góc BGC là góc nội tiếp nằm trên cung BM của đường tròn (O), nên góc BGC = góc BAC.
- Góc GAC là góc nội tiếp nằm trên cung GM của đường tròn (AMEF), nên góc GAC = góc FMC.
- Góc GBC là góc nội tiếp nằm trên cung GM của đường tròn (AMEF), nên góc GBC = góc EMC.

Từ đó, ta có:
góc BGC + góc GBC = góc BAC + góc FMC = 180° (do tam giác ABC nội tiếp)
⇒ góc BGC = 180° - góc GBC.

Tương tự, ta có:
góc GAC + góc GBC = góc FMC + góc EMC = 180° (do tam giác MEF nội tiếp)
⇒ góc GAC = 180° - góc GBC.

Từ hai phương trình trên, ta suy ra góc BGC = góc GAC.
Do đó, tam giác BGC và tam giác GAC đồng dạng (có hai góc bằng nhau).
Vậy, ta có:
CE/AC = BG/BC và BF/AB = GC/BC.

Từ đó, ta có:
CE/AC = BG/BC = BF/AB.

Do đó, CE = BF.
Đpcm.