a) Ta có AD là đường trung bình của tam giác ABC, nên AD song song với cạnh BC và có độ dài bằng một nửa độ dài cạnh BC.
Vì DE vuông góc với AB và AD song song với BC, nên DE cũng vuông góc với AD.
Tương tự, DF vuông góc với AC và AD song song với BC, nên DF cũng vuông góc với AD.
Do đó, ta có DE và DF cùng vuông góc với AD, nên DE và DF cùng vuông góc với nhau.
Vậy AEDF là hình chữ nhật.

b) Vì E là trung điểm của DG, nên DE song song với AG và có độ dài bằng một nửa độ dài AG.
Vì AEDF là hình chữ nhật, nên DE song song với AF và có độ dài bằng một nửa độ dài AF.
Do đó, DE và AF cùng song song và có độ dài bằng nhau.
Vậy DEAF là hình thoi.
Từ đó, ta có AG song song với DF và có độ dài bằng một nửa độ dài DF.
Vì AEDF là hình chữ nhật, nên DF song song với AE và có độ dài bằng một nửa độ dài AE.
Do đó, DF và AE cùng song song và có độ dài bằng nhau.
Vậy ADBG là hình thoi.

c) Gọi I là giao điểm của AF và DG.
Vì E là trung điểm của DG, nên DE song song với AG và có độ dài bằng một nửa độ dài AG.
Vì F là trung điểm của DI, nên DF song song với AI và có độ dài bằng một nửa độ dài AI.
Do đó, DE và DF cùng song song và có độ dài bằng nhau.
Vậy DEAF là hình thoi.
Từ đó, ta có AG song song với DF và có độ dài bằng một nửa độ dài DF.
Vì AEDF là hình chữ nhật, nên DF song song với AE và có độ dài bằng một nửa độ dài AE.
Do đó, DF và AE cùng song song và có độ dài bằng nhau.
Vậy ADBG là hình thoi.
Vì ADBG là hình thoi, nên đường chéo AC của nó chia đôi góc BAD.
Vì F là trung điểm của DI, nên DF song song với AI và chia đôi góc BAD.
Vậy G, A, I thẳng hàng.