Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số \( A = -x^2 + 2x + 3 \), ta có thể sử dụng các bước sau:

1. **Xác định đạo hàm của hàm số**:
Đạo hàm của \( A \) theo \( x \) là:
\[
A' = \frac{d}{dx}(-x^2 + 2x + 3) = -2x + 2
\]

2. **Tìm điểm cực trị**:
Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình \( A' = 0 \):
\[
-2x + 2 = 0 \implies x = 1
\]

3. **Xác định giá trị của hàm số tại điểm cực trị**:
Thay \( x = 1 \) vào hàm số \( A \):
\[
A(1) = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4
\]

4. **Xác định tính chất của điểm cực trị**:
Để xác định xem điểm \( x = 1 \) là điểm cực đại hay cực tiểu, ta có thể xét đạo hàm bậc hai của hàm số \( A \):
\[
A'' = \frac{d^2}{dx^2}(-x^2 + 2x + 3) = -2
\]
Vì \( A'' < 0 \), nên hàm số \( A \) đạt cực đại tại \( x = 1 \).

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số \( A = -x^2 + 2x + 3 \) là \( 4 \) tại \( x = 1 \).