Gọi số viên bi mà Nam có là x.

Theo đề bài, nếu Nam bỏ vào mỗi túi 8 viên bi thì thừa 12 viên bi, tức là số viên bi ban đầu chia hết cho 8 và có số dư là 12. Ta có phương trình:

x ≡ 12 (mod 8) (1)

Nếu Nam bỏ vào mỗi túi 11 viên bi thì vừa đủ, tức là số viên bi ban đầu chia hết cho 11. Ta có phương trình:

x ≡ 0 (mod 11) (2)

Để giải hệ phương trình (1) và (2), ta sử dụng định lý Bézout.

Ta có: gcd(8, 11) = 1

Áp dụng định lý Bézout, ta tìm được hai số nguyên a và b sao cho:

8a + 11b = gcd(8, 11) = 1

Ta có thể tìm a và b bằng cách sử dụng thuật toán Euclid mở rộng:

11 = 1 * 8 + 3
8 = 2 * 3 + 2
3 = 1 * 2 + 1
2 = 2 * 1 + 0

Qua quá trình này, ta tìm được:

1 = 3 - 1 * 2
= 3 - 1 * (8 - 2 * 3)
= 3 * 3 - 1 * 8
= 3 * (11 - 1 * 8) - 1 * 8
= 3 * 11 - 4 * 8

Vậy a = 3, b = -4.

Giải hệ phương trình (1) và (2) bằng cách nhân cả hai vế của (1) với a và nhân cả hai vế của (2) với b:

x ≡ 12 * 3 ≡ 36 (mod 8)
x ≡ 0 * (-4) ≡ 0 (mod 11)

Ta có thể tìm nghiệm của hệ phương trình bằng cách tìm số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn cả hai phương trình trên. Ta thấy rằng 36 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn phương trình (1), và cũng là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn phương trình (2).

Vậy số viên bi mà Nam có là 36.