a, Ta có tam giác ABC vuông tại A nên AH là đường cao của tam giác ABC. Vì vậy, ta có AH vuông góc AB và AH vuông góc AC.

Vì K là hình chiếu của H lên AB nên AK vuông góc AB.

Vì I là hình chiếu của H lên AC nên AI vuông góc AC.

Do đó, ta có AI vuông góc AC và AK vuông góc AB.

Vậy tứ giác AIHK là hình chữ nhật vì có 4 góc vuông.

b, Gọi N là trung điểm của AH. Ta cần chứng minh AM vuông góc IK.

Ta có AI vuông góc AC và AK vuông góc AB.

Vì tứ giác AIHK là hình chữ nhật nên AI song song với KH và AH song song với IK.

Do đó, ta có AIHK và AHKI là hai tứ giác đồng quy.

Vậy, ta có AN là đường trung trực của HK.

M là trung điểm của BC nên MN song song với BC.

Vì AN song song với HK nên MN cũng song song với HK.

Vậy, ta có MN vuông góc với IK.

M là trung điểm của BC nên AM song song với IK.

Vậy, ta có AM vuông góc IK.