Để giải phương trình căn(x+2) + căn(x+6) = căn(2x+5) + căn(2x+1), ta làm như sau:

Đầu tiên, ta đặt a = căn(x+2) và b = căn(x+6). Khi đó, phương trình trở thành a + b = căn(2x+5) + căn(2x+1).

Bình phương cả hai vế của phương trình, ta có: (a + b)² = (căn(2x+5) + căn(2x+1))².

Áp dụng công thức (a + b)² = a² + b² + 2ab, ta có: a² + b² + 2ab = (căn(2x+5) + căn(2x+1))².

Vì a = căn(x+2) và b = căn(x+6), nên ta có: (căn(x+2))² + (căn(x+6))² + 2(căn(x+2))(căn(x+6)) = (căn(2x+5) + căn(2x+1))².

Tiếp theo, ta thực hiện các phép tính để đơn giản hóa phương trình:

(x+2) + (x+6) + 2(căn(x+2))(căn(x+6)) = (căn(2x+5) + căn(2x+1))².

2x + 8 + 2(căn(x+2))(căn(x+6)) = (căn(2x+5) + căn(2x+1))².

2(căn(x+2))(căn(x+6)) = (căn(2x+5) + căn(2x+1))² - 2x - 8.

2(căn(x+2))(căn(x+6)) = (căn(2x+5))² + 2(căn(2x+5))(căn(2x+1)) + (căn(2x+1))² - 2x - 8.

2(căn(x+2))(căn(x+6)) = 2x + 5 + 2(căn(2x+5))(căn(2x+1)) + 2x + 1 - 2x - 8.

2(căn(x+2))(căn(x+6)) = 4x - 2.

(căn(x+2))(căn(x+6)) = 2x - 1.

Bình phương cả hai vế của phương trình, ta có: [(căn(x+2))(căn(x+6))]² = (2x - 1)².

(căn(x+2))²(căn(x+6))² = 4x² - 4x + 1.

(x+2)(x+6) = 4x² - 4x + 1.

x² + 8x + 12 = 4x² - 4x + 1.

3x² - 12x + 11 = 0.

Để giải phương trình bậc hai này, ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai hoặc hoàn thành hình vuông.

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:

x = (-b ± căn(b² - 4ac)) / 2a.

Trong đó, a = 3, b = -12 và c = 11.

x = (-(-12) ± căn((-12)² - 4(3)(11))) / (2(3)).

x = (12 ± căn(144 - 132)) / 6.

x = (12 ± căn(12)) / 6.

x = (12 ± 2căn(3)) / 6.

x = 2 ± căn(3).

Vậy, phương trình căn(x+2) + căn(x+6) = căn(2x+5) + căn(2x+1) có hai nghiệm là x = 2 + căn(3) và x = 2 - căn(3).