Để chứng minh M = 4a - 1/a + 3 thuộc Z (tập số nguyên), ta cần chứng minh rằng M là một số nguyên.

Ta có:
M = 4a - 1/a + 3

Để loại bỏ phân số, ta nhân cả biểu thức cho a:
M = (4a^2 - 1 + 3a) / a

Tiếp theo, ta phân tích biểu thức trong ngoặc:
4a^2 - 1 + 3a = (2a - 1)(2a + 1) + 3a

Thay lại vào biểu thức ban đầu:
M = [(2a - 1)(2a + 1) + 3a] / a

Ta thấy rằng (2a - 1)(2a + 1) + 3a là một số nguyên, do đó M cũng là một số nguyên.

Vậy, chứng minh được rằng M = 4a - 1/a + 3 thuộc Z.