Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và hình thoi.

a) Ta có tam giác ABC vuông tại A và trung truyến AM. Vì trung truyến là đường cao của tam giác vuông, nên ta có AM là đường cao của tam giác ABC. Do đó, tam giác AMC cân.

b) Ta đã biết rằng MO vuông góc AC và MO = NO. Vì AM là đường cao của tam giác ABC, nên ta có AM vuông góc BC. Khi đó, ta có hai góc vuông AMO và AMN. Vì MO = NO, nên ta có góc AMO = góc AMN. Như vậy, tam giác AMN cân.

Đồng thời, ta cũng đã biết rằng AMCN là hình thoi. Vì tam giác AMN cân, nên ta có góc AMN = góc ANM. Như vậy, góc ANM cũng bằng góc AMO. Vì MO = NO, nên ta có góc AMO = góc ANO. Như vậy, tam giác ANO cân. Do đó, ta có góc AON = góc ANO = góc AMO = góc AMN. Như vậy, tam giác AMCN là hình thoi.

c) Gọi I là trung điểm của MC và D là điểm trên tia NI sao cho IN = ID. Vì I là trung điểm của MC, nên ta có MI = IC. Vì IN = ID, nên ta có NI = ND.

Vì tam giác AMC cân, nên ta có góc MAC = góc MCA. Vì MI = IC, nên ta có góc MIC = góc MCI. Từ đó, ta có góc MAC + góc MIC = góc MCA + góc MCI = 90 độ.

Vì góc MAC + góc MIC = 90 độ, nên ta có góc MAC + góc MIC + góc MCA + góc MCI = 90 độ + 90 độ = 180 độ. Như vậy, 4 điểm A, M, C, D nằm trên cùng một đường thẳng.

Hy vọng những giải thích trên đã giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán này.