Giả sử x và y là các số tự nhiên thỏa mãn x^2 + y^2 chia hết cho 4. Ta cần chứng minh rằng xy chia hết cho 4.

Vì x^2 + y^2 chia hết cho 4, ta có x^2 + y^2 ≡ 0 (mod 4).

Ta xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra cho x và y khi chia lần lượt cho 4:

- Nếu x ≡ 0 (mod 4) và y ≡ 0 (mod 4), tức là x và y đều chia hết cho 4, vậy xy chia hết cho 4.
- Nếu x ≡ 0 (mod 4) và y ≡ 2 (mod 4), ta có x^2 ≡ 0 (mod 4) và y^2 ≡ 4 (mod 4), vậy x^2 + y^2 ≡ 4 (mod 4). Nhưng x^2 + y^2 chia hết cho 4, vậy x^2 + y^2 phải chia hết cho 8. Tuy nhiên, x^2 + y^2 chỉ có thể chia hết cho 8 nếu cả x và y đều chia hết cho 4. Vậy xy chia hết cho 4.
- Tương tự, nếu x ≡ 2 (mod 4) và y ≡ 0 (mod 4), ta cũng có x^2 + y^2 ≡ 4 (mod 4) và xy chia hết cho 4.
- Cuối cùng, nếu x ≡ 2 (mod 4) và y ≡ 2 (mod 4), ta có x^2 ≡ 4 (mod 4) và y^2 ≡ 4 (mod 4), vậy x^2 + y^2 ≡ 8 (mod 4). Tương tự như trường hợp trên, x^2 + y^2 chỉ chia hết cho 8 nếu cả x và y đều chia hết cho 4, vậy xy chia hết cho 4.

Từ tất cả các trường hợp trên, ta có thể kết luận rằng nếu x^2 + y^2 chia hết cho 4, thì xy chia hết cho 4.