a) Tứ giác ADKE là tứ giác điều hòa.

Đầu tiên, ta chứng minh tứ giác ADKE là tứ giác điều hòa bằng cách chứng minh tứ giác ADKE là tứ giác tứ giác điều hòa tức là tứ giác có hai cặp cạnh đối xứng qua đường trung trực của cặp cạnh còn lại.

Gọi O là tâm của đường tròn (O), O' là tâm của đường tròn (O'). Ta có:
- AB là đường kính của (O) nên AB đi qua tâm O và vuông góc với DE tại K.
- AC là đường kính của (O') nên AC đi qua tâm O' và vuông góc với DE tại K.
- AD là tiếp tuyến của (O) nên AD vuông góc với DE tại K.
- AE là tiếp tuyến của (O') nên AE vuông góc với DE tại K.

Vậy tứ giác ADKE có hai cặp cạnh đối xứng qua đường trung trực của cặp cạnh còn lại, do đó tứ giác ADKE là tứ giác điều hòa.

b) Ta chứng minh AK là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (O) và (O').

Vì AD là tiếp tuyến của (O) nên góc BAD = 90°. Tương tự, vì AE là tiếp tuyến của (O') nên góc CAE = 90°.

Do đó, tứ giác ABKC là tứ giác nội tiếp trong đường tròn (O) và tứ giác ACKE là tứ giác nội tiếp trong đường tròn (O').

Vậy AK là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (O) và (O').

c) Ta chứng minh MK ⊥ DE.

Gọi M' là trung điểm của DE. Ta cần chứng minh M'K ⊥ DE.

Vì M là trung điểm của BC nên M là trung điểm của DE.

Vì tứ giác ADKE là tứ giác điều hòa nên AK là đường đối xứng của AD qua đường trung trực của DE.

Vậy M'K là đường đối xứng của M'D qua đường trung trực của DE.

Vì M' là trung điểm của DE nên M'K ⊥ DE.

Vậy MK ⊥ DE.