Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các công thức liên quan đến tam giác vuông và đường cao.

Đầu tiên, ta cần tìm độ dài cạnh NP của tam giác vuông MNP. Vì NQ = 3 và PQ = 6, nên NP = NQ + PQ = 3 + 6 = 9.

Tiếp theo, ta cần tính độ dài đường cao MQ của tam giác vuông MNP. Theo định nghĩa, đường cao MQ là đoạn thẳng vuông góc với cạnh huyền NP và đi qua đỉnh M. Vì tam giác MNP là tam giác vuông, nên đường cao MQ cũng là đường cao của tam giác MNP.

Theo định lý Pythagoras, ta có: MN^2 + NP^2 = MP^2. Vì tam giác MNP là tam giác vuông, nên MN^2 + NP^2 = MP^2 trở thành MN^2 + 9^2 = MP^2.

Vì MN là đường cao của tam giác MNP, nên MN là đoạn thẳng vuông góc với cạnh NP và đi qua đỉnh M. Vì vậy, MN^2 = MQ^2 + NQ^2.

Kết hợp hai công thức trên, ta có: MQ^2 + NQ^2 + 9^2 = MP^2.

Vì tam giác MNP là tam giác vuông, nên MQ^2 + NQ^2 = NP^2.

Thay NP = 9 vào công thức trên, ta có: MQ^2 + NQ^2 + 9^2 = 9^2.

Simplifying the equation, we have: MQ^2 + NQ^2 = 0.

Vì MQ và NQ là độ dài dương, nên MQ^2 + NQ^2 > 0.

Từ đó suy ra MQ^2 + NQ^2 + 9^2 > 9^2.

Simplifying the equation, we have: MP^2 > 9^2.

Vậy MP > 9.

Tiếp theo, ta cần tính tỉ số cotg(M) / cotg(N).

Theo định nghĩa, cotg(M) = MQ / MN và cotg(N) = NP / MN.

Thay các giá trị đã tính được vào, ta có: cotg(M) = MQ / MN và cotg(N) = 9 / MN.

Vì MQ > 0 và MN > 0, nên MQ / MN > 0.

Vì MP > 9, nên MQ > 9.

Từ đó suy ra MQ / MN > 9 / MN.

Vậy cotg(M) / cotg(N) > 9 / MN.

Tóm lại, tỉ số cotg(M) / cotg(N) lớn hơn 9 / MN và lớn hơn bao nhiêu lần phụ thuộc vào giá trị của MN.