Khi chia một số a cho 12 ta được dư là 9

1. Để chứng minh rằng a chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 4, ta sử dụng định lý chia dư của Euclid.

Theo định lý chia dư của Euclid, khi chia một số nguyên a cho một số nguyên dương b, ta luôn có thể viết a dưới dạng a = bq + r, trong đó q là một số nguyên và r là số dư (0 ≤ r < b).

Trong trường hợp này, khi chia a cho 12, ta được a = 12q + 9. Điều này có nghĩa là a chia hết cho 3 (vì 12q chia hết cho 3) và số dư là 9.

Để chứng minh rằng a không chia hết cho 4, ta giả sử ngược lại rằng a chia hết cho 4. Khi đó, a có thể được viết dưới dạng a = 4k, với k là một số nguyên.

Thay a = 4k vào phương trình a = 12q + 9, ta có 4k = 12q + 9. Điều này có nghĩa là 9 = 4k - 12q.

Nhưng số 9 không chia hết cho 4, do đó giả thuyết ban đầu là sai. Vậy ta kết luận rằng a không chia hết cho 4.

Tóm lại, a chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 4.

2. Để chứng minh rằng tổng của bốn số không chia hết cho 5 khi chia cho 5 thì được các số dư khác nhau, ta giả sử ngược lại rằng tổng của bốn số này chia hết cho 5.

Gọi các số này lần lượt là a, b, c, d. Khi chia tổng của bốn số này cho 5, ta có (a + b + c + d) = 5k, với k là một số nguyên.

Theo định lý chia dư của Euclid, ta có thể viết (a + b + c + d) = 5q + r, trong đó q là một số nguyên và r là số dư (0 ≤ r < 5).

Vì tổng của bốn số này chia hết cho 5, nên r = 0. Điều này có nghĩa là (a + b + c + d) = 5q + 0, hay (a + b + c + d) = 5q.

Tuy nhiên, theo giả thiết, khi chia a, b, c, d cho 5, ta được các số dư khác nhau. Điều này có nghĩa là tổng của bốn số này không chia hết cho 5.

Vậy giả thuyết ban đầu là sai. Tổng của bốn số không chia hết cho 5 khi chia cho 5 thì được các số dư khác nhau.