Cho (O;R) đường kính AB lấy M thuộc O sao cho cung MA nhỏ hơn cung MB; A khác B

a) Ta có cung MA nhỏ hơn cung MB, nghĩa là góc MOA nhỏ hơn góc MOB. Vì O là tâm đường tròn nên góc MOA và góc MOB đều bằng một nửa góc MAB. Do đó, góc MOA nhỏ hơn góc MOB tương đương với góc MAB nhỏ hơn 90 độ. Vậy tam giác MAB là tam giác vuông.

b) Ta có MA = ME, nên tam giác MAE là tam giác cân tại M. Do đó, góc MEC = góc MCE. Tương tự, tam giác MCE là tam giác cân tại M, nên góc MCE = góc MEC. Vậy ta có góc MEC = góc MCE.

Vì EB cắt đường tròn tại C, nên góc MCE là góc nhọn. Vì góc MEC = góc MCE, nên góc MEC cũng là góc nhọn. Vậy tam giác MEC là tam giác cân tại M.

Do đó, ta có tam giác MAE và tam giác MEC là hai tam giác cân tại M. Vậy ta có MA = ME và ME = MC.

Theo định lý cung cấp bởi góc nội tiếp, ta có góc MEC = góc MBC. Vì tam giác MEC là tam giác cân tại M, nên góc MEC = góc MCE. Do đó, góc MCE = góc MBC.

Vậy ta có góc MCE = góc MBC và ME = MC. Từ đó, ta suy ra EM x EB = AE x EC.

c) Để chứng minh FE là tiếp tuyến của (B;BA), ta cần chứng minh góc FEB = góc B.

Vì tam giác MEC là tam giác cân tại M, nên góc MEC = góc MCE. Tương tự, tam giác MCE là tam giác cân tại M, nên góc MCE = góc MEC. Vậy ta có góc MEC = góc MCE.

Do đó, góc MEC = góc MCE = góc B.

Vậy ta có góc FEB = góc B. Từ đó, ta suy ra FE là tiếp tuyến của (B;BA).