Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 9cm, BC = 15cm

a) Tứ giác ADIF là hình chữ nhật. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ. Do đó, góc ADF = góc ABC = 90 độ. Tương tự, góc DFI = góc BAC = 90 độ. Vậy tứ giác ADIF có 4 góc vuông, là hình chữ nhật.

b) Gọi O là tâm của đường tròn (I). Ta có:

- Gọi M là trung điểm của BC, ta có AM là đường cao của tam giác ABC. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AM cũng là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, AM = MC = 7.5 cm.

- Gọi r là bán kính của đường tròn (I). Ta có:

+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên AB. Khi đó, OH = r.

+ Gọi K là hình chiếu vuông góc của O lên AC. Khi đó, OK = r.

+ Gọi L là hình chiếu vuông góc của O lên BC. Khi đó, OL = r.

- Ta có: AH = AM - MH = 7.5 - 4.5 = 3 cm.

- Ta có: AK = AM - MK = 7.5 - 3 = 4.5 cm.

- Ta có: BL = BM - ML = 7.5 - 4.5 = 3 cm.

- Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AOH, ta có:

AH^2 + OH^2 = AO^2.

3^2 + r^2 = (9 - r)^2.

9 + r^2 = 81 - 18r + r^2.

18r = 72.

r = 4 cm.

Vậy bán kính của đường tròn (I) là 4 cm.