Cho tam giác ABD vuông tại A, I là trung điểm của BD, C đối xứng với A qua I

a) Không có tứ giác nào là HCN. Vì để tứ giác là HCN, cần phải có 2 cặp cạnh song song và bằng nhau. Tuy nhiên, trong tam giác ABD, các cạnh AB và AD không song song và không bằng nhau, nên không thể tạo thành tứ giác HCN.

b) Tứ giác AIHK là hình thoi. Vì AI là đường trung bình của tam giác ABD, nên AI cắt BD tại trung điểm I. Do đó, AI = ID. Vì I là trung điểm của BD, nên IB = ID. Từ đó, ta có AI = IB = ID, tức là các cạnh của tứ giác AIHK bằng nhau. Ngoài ra, góc AIH = góc DIH = 90 độ (do IH vuông góc với AB tại H), nên tứ giác AIHK có 4 góc bằng nhau, là hình thoi.

c) Để tứ giác AIHK là hình vuông, cần và đủ điều kiện là các cạnh của nó bằng nhau và các góc của nó đều bằng 90 độ. Vì AI = IB = ID (vì I là trung điểm của BD) và góc AIH = góc DIH = 90 độ (do IH vuông góc với AB tại H), nên để tứ giác AIHK là hình vuông, ta cần và đủ điều kiện là tam giác ABD là tam giác vuông cân, tức là AB = AD và góc ABD = góc ADB = 45 độ.