Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tam giác đều AMC, BMD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD, CB

Để chứng minh a) ta sẽ sử dụng định lí về tam giác đều. Ta có:

- Tam giác AMC là tam giác đều với góc ∠AMC = 60°.
- Tam giác BMD là tam giác đều với góc ∠BMD = 60°.

Vì M thuộc đoạn thẳng AB, nên ta có ∠AMB = 180° - ∠AMC - ∠BMD = 60°.

Do đó, tam giác AMB cũng là tam giác đều.

Khi đó, ta có:

- ∠MFB = ∠MFA + ∠AFB = ∠MCA + ∠ADB = ∠MCA + ∠ACD = ∠MCD.

- ∠MED = ∠MEA + ∠AED = ∠MBA + ∠ADB = ∠MBA + ∠ACD = ∠MCD.

Vậy ta có ∠MFB = ∠MED.

Để chứng minh b) ta sẽ sử dụng tính chất của trung điểm. Ta có:

- E là trung điểm của AD nên AE = ED.

- F là trung điểm của CB nên CF = FB.

Vì tam giác AMB là tam giác đều, nên ta có AM = MB.

Khi đó, ta có:

- ME = MA + AE = MA + ED = MA + AM = 2MA.

- MF = MB + FB = MB + CF = MB + MC = 2MB.

Vậy ta có ME = MF.

Do đó, tam giác MEF cũng là tam giác đều.