So sánh: (15^2023 + 16^2023)^2024 và (15^2024 + 16^2024)^2023

Để so sánh hai biểu thức này, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Bernoulli. Bất đẳng thức Bernoulli chỉ ra rằng nếu một số thực dương \(x > -1\) và \(n\) là một số nguyên dương, thì \((1+x)^n \geq 1+nx\).

Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli cho \(x = \frac{1}{15^{2023}}\) và \(n = 2024\), ta có:
\[(1+x)^n \geq 1+nx\]
\[\left(1+\frac{1}{15^{2023}}\right)^{2024} \geq 1 + \frac{2024}{15^{2023}}\]
\[15^{2024} + 16^{2023} \geq 15^{2024} + \frac{2024}{15^{2023}}\]

Tương tự, áp dụng bất đẳng thức Bernoulli cho \(x = \frac{1}{16^{2024}}\) và \(n = 2023\), ta có:
\[(1+x)^n \geq 1+nx\]
\[\left(1+\frac{1}{16^{2024}}\right)^{2023} \geq 1 + \frac{2023}{16^{2024}}\]
\[15^{2024} + 16^{2023} \geq \frac{2023}{16^{2024}} + 16^{2023}\]

Từ hai bất đẳng thức trên, ta có:
\[15^{2024} + 16^{2023} \geq 15^{2024} + \frac{2024}{15^{2023}} > \frac{2023}{16^{2024}} + 16^{2023}\]

Vậy, ta có:
\[(15^{2023} + 16^{2023})^{2024} > (15^{2024} + 16^{2024})^{2023}\]