a) Ta biết I là trung điểm của BC, do đó MI = IB = IC. Với AB = 3cm và AC = 4cm, ta có AI = (AB + AC)/2 = 3.5cm. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác AIC (tam giác vuông tại A), ta có AM^2 + MI^2 = AI^2. Thay các giá trị vào, ta có AM = √(AI^2 - MI^2) = √(3.5^2 - 2^2) ≈ 3.12cm.

b) Do AD là đối xứng của AB qua đường trung trực của BC, ta có AD = AB = 3cm. Do đó, hai cạnh AB và AD của tứ giác ABDC bằng nhau, và góc giữa chúng bằng 90 độ. Vì vậy, tứ giác ABDC là hình chữ nhật.

c) Gọi E' là hình chiếu của A lên BC. Do A là trung điểm của EE', ta có AE = E'E. Do A và C đối xứng qua đoạn thẳng CD, ta có AC = CE. Từ đó, AE = E'C. Do E' là hình chiếu của E lên BC, nên AE' = EC. Như vậy, tam giác AEE' và tam giác CEE' đồng dạng, và theo định lý đối xứng, tam giác AEO và tam giác CEO cũng đồng dạng. Vì O là trung điểm của CD và AE, nên EO cắt AC ở điểm giữa. Theo định lý đối xứng, tứ giác AEOB là hình bình hành. Nhưng vì AEOB là hình bình hành và AE = AB, nên tứ giác AEOB là hình chữ nhật.

đ) Để chứng minh DI vuông góc với AF, chúng ta cần chứng minh CF = FI. Vì I là trung điểm của BC, và F là hình chiếu của C lên DE, nên CF = FI. Do đó, theo tính chất của hình chữ nhật, DI vuông góc với AF.