Chứng minh MG // (ABD)

Bài 1:
a, Ta có G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 2GM. Vì MC = 2MD nên ta có:
AG = 2GM = 2(MC + MD) = 2(MC + MC/2) = 3MC
Vậy ta có AG = 3MC.
Do đó, ta có tỉ số AG/MC = 3/1 = 3.
Theo định lí Thales, ta có MG // (ABD).

b, Ta có MG // (ABD) và BM // (ABD) nên ta có (ABD) giao (BMG) tại điểm M.

c, Ta có MG // (ABD) và AG // (ABD) nên ta có (ABD) giao (AGM) tại điểm A.

Bài 2:
a, Ta có I là trung điểm của BC nên AI cắt BC tại I và AI = 2IB.
Vì BD là đường chéo của hình bình hành ABCD nên BD cắt AC tại trọng tâm G của tam giác ABC.
Theo định lí Thales, ta có BD // (AIJ).

b, Ta có H là trọng điểm của tam giác ABC nên AH = 2HC.
Vì BD là đường chéo của hình bình hành ABCD nên BD cắt AC tại trọng tâm G của tam giác ACD.
Theo định lí Thales, ta có BD // (AIJ).
Vậy ta có HK // (ABD).

Bài 3:
Ta có G là trọng tâm của tam giác SAB nên AG = 2GS.
Vì DE = 2EA nên ta có:
AG = 2GS = 2(GE + ES) = 2(GE + GE/2) = 3GE
Vậy ta có AG = 3GE.
Do đó, ta có tỉ số AG/GE = 3/1 = 3.
Theo định lí Thales, ta có GE // (SCD).

Bài 4:
a, Ta có M là trung điểm của AB nên MN cắt AB tại M và MN = 1/2AB.
Vì SB là đường chéo của hình bình hành ABCD nên SB cắt AC tại trọng tâm G1 của tam giác ABC.
Theo định lí Thales, ta có SB // (MNP).
Tương tự, ta có SC // (MNP).
Vậy ta có MN // (SBC) và MN // (SAD).

b, Ta có P là trung điểm của SA nên SP cắt SA tại P và SP = 1/2SA.
Vì SB là đường chéo của hình bình hành ABCD nên SB cắt AC tại trọng tâm G1 của tam giác ABC.
Theo định lí Thales, ta có SB // (MNP).
Tương tự, ta có SC // (MNP).
Vậy ta có SB // (MNP) và SC // (MNP).

c, Ta có G1 là trọng điểm của tam giác ABC nên AG1 = 2G1C.
Vì SAC là đường chéo của hình bình hành ABCD nên SAC cắt AC tại trọng tâm G2 của tam giác SBC.
Theo định lí Thales, ta có G1G2 // (SAC).