a) Để giải phương trình 4sin²x=1, ta có thể chuyển về dạng sin²x=1/4.

Vì sin²x là giá trị không âm, nên ta chỉ cần xét trường hợp sinx > 0.

Ta có sinx = ±√(1/4) = ±1/2.

Với sinx = 1/2, ta có x = π/6.

Với sinx = -1/2, ta có x = 5π/6.

Vậy, phương trình có 2 nghiệm trong khoảng (0, π).

b) Để giải phương trình tanx+cotx=4, ta có thể chuyển về dạng sinx/cosx + cosx/sinx = 4.

Nhân cả hai vế của phương trình với sinx*cosx, ta có sin²x + cos²x = 4sinx*cosx.

Vì sin²x + cos²x = 1, nên ta có 1 = 4sinx*cosx.

Chia cả hai vế của phương trình cho 4, ta có sinx*cosx = 1/4.

Ta biết rằng sin2x = 2sinxcosx, nên phương trình trở thành sin2x = 1/2.

Với sin2x = 1/2, ta có x = π/12, 5π/12, 13π/12, 17π/12.

Vậy, phương trình có 4 nghiệm trong khoảng (0, 2π).