Để tính khoảng cách giữa nhà An và nhà Bình trong tam giác này, ta sử dụng định lý cosin trong hình tam giác.

Đặt \( a = 750 \) (khoảng cách từ nhà Tâm đến nhà An), \( b = 500 \) (khoảng cách từ nhà Tâm đến nhà Bình), và \( \theta = 50^{\circ} \) (góc tạo bởi 2 dường đi từ nhà Tâm).

Theo định lý cosin, ta có công thức:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\theta) \]

Áp dụng vào vấn đề này, ta có:

\[ c^2 = 750^2 + 500^2 - 2 \cdot 750 \cdot 500 \cdot \cos(50^{\circ}) \]

\[ c^2 = 562500 + 250000 - 750000 \cdot \cos(50^{\circ}) \]

Tính giá trị của \( \cos(50^{\circ}) \) trong đơn vị radian, ta được \( \cos(50^{\circ}) \approx 0.6428 \).

Tiếp tục tính toán:

\[ c^2 = 562500 + 250000 - 750000 \cdot 0.6428 \]

\[ c^2 = 812500 - 482100 \]

\[ c^2 \approx 330400 \]

Lấy căn bậc hai của cả hai phía của phương trình ta có:

\[ c \approx \sqrt{330400} \]

\[ c \approx 574.47 \]

Vậy khoảng cách giữa nhà An và nhà Bình là khoảng 574.47 mét.