Chứng minh rằng A là trung điểm PQ

Để chứng minh A là trung điểm của PQ, ta cần chứng minh rằng AP = AQ.

Ta có tam giác ABC cân tại A, nên đường cao từ A sẽ là đường trung tuyến của tam giác ABC. Khi đó, ta có AM = AN.

Vì CDMP là hình chữ nhật, nên CD song song với MP và DP vuông góc với BC. Tương tự, BDNQ là hình chữ nhật, nên BD song song với NQ và BQ vuông góc với BC.

Do đó, ta có hai cặp góc vuông: ∠DPC = ∠BQC = 90°.

Vì ∠DPC = 90°, nên ∠DPM = 90° - ∠DPC = ∠BQC.

Vì ∠BQC = 90°, nên ∠BQN = 90° - ∠BQC = ∠DPM.

Vậy ta có ∠DPM = ∠BQN.

Do đó, hai tam giác DPM và BQN là hai tam giác đồng dạng (có cặp góc bằng nhau).

Vì DB > DC, nên DM > DN.

Vì hai tam giác DPM và BQN là đồng dạng, nên DP > BQ.

Vậy ta có MP > NQ.

Vì AM = AN và MP > NQ, nên AP > AQ.

Tuy nhiên, ta cũng có AP < AQ (vì A nằm giữa M và N trên đường thẳng MN).

Vậy ta suy ra AP = AQ.

Do đó, A là trung điểm của PQ.