Đây là hình vẽ mô tả bài toán:

```
A
/ \
/ \
/ \
/ \
/ \
/ \
/ \
B---------------C
E N
\ /
\ /
\ /
\ /
\ /
\ /
\ /
K
```

a) Ta có tam giác vuông AEC với cạnh góc vuông EC = 9cm và AC = 15cm. Áp dụng định lý Pythagoras, ta có:

AE^2 = AC^2 - EC^2
AE^2 = 15^2 - 9^2
AE^2 = 225 - 81
AE^2 = 144
AE = √144
AE = 12cm

Vậy đường cao AE của tam giác AEC có độ dài 12cm.

b) Ta có AN là hình chiếu của E lên AC và AK là hình chiếu của E lên AB. Theo định lý hình chiếu, ta có:

AN.AC = AK.AB

Để tính số đo góc AKN, ta sử dụng định lý cosin trong tam giác AKN:

cos(AKN) = (AK^2 + AN^2 - KN^2) / (2.AK.AN)

Ta đã biết AK.AB = AN.AC, từ đó suy ra AK/AN = AC/AB. Vậy tam giác AKN và tam giác ACB đồng dạng. Do đó, góc AKN = góc ACB.

c) Vẽ đường thẳng qua E và I, cắt BC tại M. Ta có tam giác BME cân tại M (vì E là điểm đối xứng của I qua K). Vậy BM là đường trung bình của tam giác ABC, nên H là trung điểm của BI.

Vì tam giác BME cân tại M, nên góc BME = góc BEM. Vì E là điểm đối xứng của I qua K, nên góc BEM = góc BIE.

Vậy góc BIE = góc BEM = góc IHE = 25°.