a, Ta có ∆ABC vuông tại A, với đường cao AH.
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC, ta có:
AC² = AB² + BC²
AC² = 12² + 20²
AC² = 144 + 400
AC² = 544
AC = √544 ≈ 23.32 cm

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ACH, ta có:
CH² = AC² - AH²
CH² = 544 - AH²
CH = √(544 - AH²)

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABH, ta có:
AH² = AB² - BH²
AH² = 12² - CH²
AH = √(144 - CH²)

b, Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC.
Ta có AM ⊥ BH và AN ⊥ CH.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AM và AN là hai đường cao của tam giác ABC.
Do đó, AM và AN cùng là đường cao của tam giác ABC, nên ta có:
AM. AB = AN. AC

c, Chứng minh AH³ = AC.BM.CN
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ACH, ta có:
AH² = AC² - CH²
AH² = AC² - (AC - AH)²
AH² = AC² - (AC² - 2AC.AH + AH²)
AH² = 2AC.AH - AC²

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABH, ta có:
BH² = AB² - AH²
BH² = AB² - (2AC.AH - AC²)
BH² = AC² - 2AC.AH + AH²

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông BCH, ta có:
CH² = BC² - BH²
CH² = BC² - (AC² - 2AC.AH + AH²)
CH² = AC² + 2AC.AH - AH²

Tổng hai phương trình trên ta được:
AH² + BH² + CH² = 2AC.AH + AC² + AC² + 2AC.AH - AH²
2(AH² + BH² + CH²) = 4AC.AH + 2AC²
AH² + BH² + CH² = 2AC.AH + AC²

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC, ta có:
AC² = AB² + BC² - 2AB.BC.cos(∠BAC)
AC² = 12² + 20² - 2(12)(20)cos(90°)
AC² = 144 + 400 - 480
AC² = 64

Thay AC² = 64 vào phương trình trên, ta được:
AH² + BH² + CH² = 2AC.AH + 64
AH² + BH² + CH² = 2AC.AH + AC²

Do đó, AH³ = AC.BM.CN.