Chứng minh n thuộc n*

Để chứng minh rằng số n thuộc n*, ta cần chứng minh rằng số 333...3(n chữ số a) + 24n chia hết cho 27.

Ta có:
333...3(n chữ số a) = 3 x (111...1(n chữ số a))
= 3 x (1 + 10 + 10^2 + ... + 10^(n-1))
= 3 x (1 + 10 + 10^2 + ... + 10^(n-1) + 10^n - 10^n)
= 3 x (10^n - 1) / 9

Vậy số 333...3(n chữ số a) chia hết cho 27 khi và chỉ khi số 10^n - 1 chia hết cho 9.

Ta có:
10^n - 1 = (9 + 1)^n - 1
= C(n, 0) x 9^n + C(n, 1) x 9^(n-1) + ... + C(n, n-1) x 9 + C(n, n) - 1
= C(n, 0) x 9^n + C(n, 1) x 9^(n-1) + ... + C(n, n-1) x 9 + 1 - 1
= C(n, 0) x 9^n + C(n, 1) x 9^(n-1) + ... + C(n, n-1) x 9

Vì C(n, k) là tổ hợp chập k của n, nên nó chia hết cho 9 khi k < n. Do đó, ta có:
C(n, 0) x 9^n + C(n, 1) x 9^(n-1) + ... + C(n, n-1) x 9 chia hết cho 9

Vậy số 10^n - 1 chia hết cho 9, từ đó suy ra số 333...3(n chữ số a) chia hết cho 27.

Vậy ta đã chứng minh được rằng n thuộc n*.