Cho tam giác ABC vuông tại A, có M là trung điểm của BC. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC

a) Tứ giác AIMK là hình chữ nhật. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AM là đường cao của tam giác ABC. Do đó, M là trung điểm của BC. Vì vậy, ta có MI = MK và AI = AK. Do đó, tứ giác AIMK là hình chữ nhật.

b) Ta có I là trung điểm của MD và K là trung điểm của ME. Vì vậy, ta có IM = MD và KM = ME. Đồng thời, ta cũng có MI = MK (vì tứ giác AIMK là hình chữ nhật). Từ đó, ta suy ra IM = MD = MK = ME.

Giả sử A không phải là trung điểm của DE. Khi đó, ta có AM ≠ AD và AM ≠ AE. Ta sẽ chứng minh rằng trong trường hợp này, tứ giác AIMK không thể là hình chữ nhật.

Nếu AM ≠ AD, ta có hai trường hợp xảy ra:
- Trường hợp 1: AM > AD. Khi đó, ta có AI > ID. Vì vậy, tứ giác AIMK không thể là hình chữ nhật.
- Trường hợp 2: AM < AD. Khi đó, ta có AI < ID. Vì vậy, tứ giác AIMK không thể là hình chữ nhật.

Tương tự, nếu AM ≠ AE, ta cũng có hai trường hợp xảy ra:
- Trường hợp 1: AM > AE. Khi đó, ta có AK > KE. Vì vậy, tứ giác AIMK không thể là hình chữ nhật.
- Trường hợp 2: AM < AE. Khi đó, ta có AK < KE. Vì vậy, tứ giác AIMK không thể là hình chữ nhật.

Từ đó, ta suy ra rằng A phải là trung điểm của DE.

c) Để IK nhỏ nhất, ta cần tìm vị trí của M sao cho IM = MK là nhỏ nhất. Vì IM = MK, ta có tam giác AIM cân tại I. Do đó, ta cần tìm vị trí của M sao cho AM là đoạn cao nhất của tam giác AIM. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AM là đường cao của tam giác ABC. Do đó, M nằm ở giữa B và C trên đoạn BC.