Gọi BC = x (đơn vị cm), AD = h (đơn vị cm).

Theo giả thiết, diện tích tam giác ABC là 360 m vuông, ta có:
S(ABC) = 360 cm²
=> (1/2) * BC * AD = 360 cm²
=> (1/2) * x * h = 360 cm²
=> x * h = 720 cm² (1)

Tiếp theo, kéo dài BC thêm 1 đoạn CD bằng 8 cm, ta được tam giác ABD.
Theo giả thiết, diện tích tam giác ABD là 420 cm vuông, ta có:
S(ABD) = 420 cm²
=> (1/2) * BC * AD + (1/2) * CD * AD = 420 cm²
=> (1/2) * x * h + (1/2) * 8 * h = 420 cm²
=> (1/2) * x * h + 4h = 420 cm²
=> x * h + 8h = 840 cm² (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:
x * h = 720 (1)
x * h + 8h = 840 (2)

Giải hệ phương trình trên, ta được:
720 + 8h = 840
8h = 840 - 720
8h = 120
h = 120/8
h = 15 cm

Thay h = 15 cm vào (1), ta có:
x * 15 = 720
x = 720/15
x = 48 cm

Vậy, độ dài BC là 48 cm.