Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường trung tuyến AM

a) Ta có ME vuông góc AB và MF vuông góc AC, nên ME // AC và MF // AB.
Do đó, ta có MEAF là hình bình hành.
Vì MEAF là hình bình hành nên AE = MF và AM // EF.
Mà AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên AM = MB.
Vậy ta có AE = MF = AM = MB.
Do đó, AEMF là hình chữ nhật.

b) Ta có AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên AM = MB.
Mà ta đã chứng minh AEMF là hình chữ nhật nên AE = MF = AM = MB.
Vậy tam giác AMB là tam giác cân.

c) Ta đã chứng minh AEMF là hình chữ nhật nên AE = MF = AM = MB.
Lấy I sao cho E là trung điểm MI, ta có IE = EM và AI = IM.
Vậy ta có IE = EM = AI = IM.
Do đó, tam giác AMI là tam giác cân.
Mà ta đã chứng minh tam giác AMB là tam giác cân nên tam giác AMBI là tam giác cân.
Vậy AMBI là hình thoi.

d) Nếu tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, tức là AB = AC, ta có ME // AC và MF // AB.
Vì ME // AC nên ME = AC và vì MF // AB nên MF = AB.
Nhưng ta đã chứng minh AEMF là hình chữ nhật nên AE = MF và AM = ME.
Vậy ta có AE = MF = AM = ME = AB = AC.
Do đó, AEMF là hình vuông.