Cho hình thoi ABCD, đường trung trực của cạnh AB cắt BD tại E và cắt AC tại F

Để chứng minh E và F là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và tam giác ABD, ta cần chứng minh các điều kiện sau:

1. Tam giác ABC và tam giác ABD có cùng đường tròn ngoại tiếp.
2. E là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.
3. F là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABD.

Đầu tiên, ta chứng minh điều kiện 1:

Vì đường trung trực của cạnh AB cắt BD tại E, nên ta có:
∠AEB = ∠DEB (góc ở tâm cùng cung)
∠AEB = ∠BDC (góc ở tâm cùng cung)
⇒ ∠DEB = ∠BDC

Tương tự, ta có:
∠AED = ∠BDC (góc ở tâm cùng cung)
∠AED = ∠DEB (góc ở tâm cùng cung)
⇒ ∠BDC = ∠DEB

Từ đó, ta suy ra ∠DEB = ∠BDC.

Vậy, ta có ∠DEB = ∠BDC, tức là tam giác EDB cân tại E.

Do đó, ta có BE = DE.

Tương tự, ta có ∠DFC = ∠BAC (góc ở tâm cùng cung)
∠DFC = ∠ACB (góc ở tâm cùng cung)
⇒ ∠BAC = ∠ACB

Từ đó, ta suy ra ∠BAC = ∠ACB.

Vậy, ta có ∠BAC = ∠ACB, tức là tam giác ABC cân tại A.

Do đó, ta có AB = AC.

Từ hai điều kiện trên, ta suy ra tam giác ABC và tam giác ABD có cùng đường tròn ngoại tiếp.

Tiếp theo, ta chứng minh điều kiện 2:

Vì E là điểm trên đường trung trực của cạnh AB, nên ta có AE = EB.

Vì E là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC, nên ta có ∠AEB = 90°.

Từ đó, ta suy ra tam giác AEB là tam giác vuông cân tại E.

Do đó, ta có AE = BE = EB.

Vậy, ta đã chứng minh E là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.

Cuối cùng, ta chứng minh điều kiện 3:

Vì F là điểm trên đường trung trực của cạnh AB, nên ta có AF = FC.

Vì F là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABD, nên ta có ∠AFD = 90°.

Từ đó, ta suy ra tam giác AFD là tam giác vuông cân tại F.

Do đó, ta có AF = FD = FC.

Vậy, ta đã chứng minh F là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABD.

Từ đó, ta có E và F lll tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và tam giác ABD.