Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao cho AK = 1/3AC. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng

Ta có tam giác ABC có trung tuyến AM, vậy I là trung điểm của AM.
Gọi E là trung điểm của AB.
Ta có AE = 1/2 AB và AK = 1/3 AC.
Vì AE là trung điểm của AB nên ta có ME = 1/2 AB = AE.
Vì AK là trung điểm của AC nên ta có MK = 1/2 AC = AK.
Vậy ta có ME = MK.
Do đó, tam giác MEK là tam giác cân tại M.
Vì I là trung điểm của AM nên ta có IM = IA.
Vậy ta có ME = MK và IM = IA.
Vậy tam giác MEK và tam giác IAB có hai cạnh bằng nhau nên chúng đồng dạng.
Vậy góc MEK = góc IAB.
Nhưng góc IAB = góc IAC + góc CAB = góc IAC + góc KAC = góc MAK + góc KAM = góc MAK = góc MEK.
Vậy góc MEK = góc IAB.
Vậy ba điểm B, I, K thẳng hàng.