Tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O các đường cao BM, CN cắt nhau tại H, kẻ đường kính AD gọi I là giao điểm của BC và HD

a, Chứng minh tứ giác BNMC nội tiếp:
Ta có:
∠BMC + ∠BNC = 180° (do BNMC là tứ giác nội tiếp)
∠BMC + ∠BAC = 180° (do ABC là tam giác nội tiếp đường tròn tâm O)
∠BNC + ∠BAC = 180° (do ABC là tam giác nội tiếp đường tròn tâm O)
Từ đó suy ra: ∠BMC = ∠BNC
Vậy tứ giác BNMC nội tiếp.

b, Chứng minh BHCD là hình bình hành:
Ta có:
∠BHC = 180° - ∠BMC (do BNMC là tứ giác nội tiếp)
∠BHC = 180° - ∠BNC (do BNMC là tứ giác nội tiếp)
∠BHC = ∠BAC (do ABC là tam giác nội tiếp đường tròn tâm O)
Tương tự, ta có: ∠BCH = ∠BAC
Vậy BHCD là hình bình hành.

c, Chứng minh OI = 1/2 AH:
Ta có: ∠OIH = ∠OIA + ∠AIH = ∠OCA + ∠ACH = ∠OCH
Vì BHCD là hình bình hành nên ∠OCH = ∠BCH = ∠BAC
Vậy ∠OIH = ∠BAC
Tương tự, ta có: ∠OHI = ∠ABC
Vậy ∆OIH và ∆ABC có 2 góc bằng nhau nên ∆OIH ~ ∆ABC (theo góc)
Từ đó suy ra: OI/AB = IH/AC
Vì ∆ABC là tam giác nội tiếp đường tròn tâm O nên AB = AC
Từ đó suy ra: OI = IH
Vậy OI = 1/2 AH.