Cho tam giác ABC vuông tại A. M và O lần lượt là trung điểm của BC và AC

a. Ta có M là trung điểm của AE và O là trung điểm của AC, nên OM song song với CE và có độ dài bằng một nửa độ dài CE. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AB song song với CE. Do đó, tứ giác ABEC là hình chữ nhật.

b. Ta có CE = CK (theo định nghĩa của điểm K). Vì tứ giác ABEC là hình chữ nhật, nên AB song song với CE. Khi đó, AB cũng song song với CK. Do đó, tứ giác ABCK là hình bình hành.

Vì M là trung điểm của AE, nên OM song song với CE và có độ dài bằng một nửa độ dài CE. Vì tứ giác ABCK là hình bình hành, nên O là trung điểm của BK.

c. Gọi G là trung điểm của AK. Ta có AG song song với CM (do AG là đường chéo của tứ giác ABCK và CM là đường chéo của tứ giác ABCM) và AG = 2GM (do G là trung điểm của AK). Vậy tứ giác AGCM là hình bình hành.

d. Ta có AH vuông góc BC tại H và MF vuông góc AB tại F. Vì tứ giác ABEC là hình chữ nhật, nên AB song song với CE và AH song song với MF. Khi đó, theo định lí Thales, ta có AM song song với HF.

Gọi I là giao điểm của AM và FO. Ta có AM song song với HF, nên theo định lí Thales, ta có AI song song với FH. Vì tứ giác ABEC là hình chữ nhật, nên AB song song với CE và AI song song với FO. Khi đó, theo định lí Thales, ta có PI song song với FO.

Vậy, FM, OH và PI đồng quy.