Cho tam giác PQR vuông tại P có PH chia cạnh huyền QP thành hai đoạn

a) Ta có tam giác PQR vuông tại P, với QH = 6cm và HR = 10cm.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác PQR, ta có:
QR^2 = QH^2 + HR^2
QR^2 = 6^2 + 10^2
QR^2 = 36 + 100
QR^2 = 136
QR = √136 ≈ 11.66 cm

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác PQR, ta có:
PQ^2 = PH^2 + QH^2
PQ^2 = PH^2 + 6^2
PQ^2 = PH^2 + 36
PH^2 = PQ^2 - 36
PH = √(PQ^2 - 36)

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác PQR, ta có:
PR^2 = PH^2 + HR^2
PR^2 = PH^2 + 10^2
PR^2 = PH^2 + 100
PH^2 = PR^2 - 100
PH = √(PR^2 - 100)

b) Gọi M là trung điểm của PR. Ta có QR = 16cm và góc R = 30 độ.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác PQR, ta có:
cos(R) = (PQ^2 + QR^2 - PR^2) / (2 * PQ * QR)
cos(30) = (PQ^2 + 16^2 - PR^2) / (2 * PQ * 16)
1/2 = (PQ^2 + 256 - PR^2) / (32 * PQ)
PQ^2 + 256 - PR^2 = 16 * PQ
PQ^2 - 16 * PQ + 256 - PR^2 = 0

Gọi x = PQ, ta có:
x^2 - 16x + 256 - PR^2 = 0

Áp dụng định lý cosin trong tam giác PMQ, ta có:
cos(PMQ) = (PQ^2 + QM^2 - PM^2) / (2 * PQ * QM)
cos(PMQ) = (x^2 + (PR/2)^2 - (QR/2)^2) / (2 * x * (PR/2))
cos(PMQ) = (x^2 + PR^2/4 - QR^2/4) / (x * PR)
cos(PMQ) = (4x^2 + PR^2 - QR^2) / (4x * PR)

Vì cos(PMQ) = cos(30) = 1/2, nên ta có:
(4x^2 + PR^2 - QR^2) / (4x * PR) = 1/2
4x^2 + PR^2 - QR^2 = 2x * PR
4x^2 - 2x * PR + PR^2 - QR^2 = 0
4x^2 - 2x * PR + PR^2 - 256 = 0

Giải hệ phương trình x^2 - 16x + 256 - PR^2 = 0 và 4x^2 - 2x * PR + PR^2 - 256 = 0 để tìm x và PR.

c) Ta cần chứng minh tam giác QKR đồng dạng với tam giác QHM.

Ta có QK vuông góc với QM và PK vuông góc với QM, nên tam giác QKP và tam giác QMP đồng dạng (theo góc vuông chung).

Do đó, tam giác QKR đồng dạng với tam giác QHM (theo góc vuông chung).